Division mit Null

Wenn man die Null durch eine beliebige Zahl außer Null teilt, ergibt dies immer Null. Es gilt also folgende Gleichung:
0 : a = 0           (a c R*)

Dies ist sicher ganz leicht nachzuvollziehen, wenn man sich vorstellt, dass ein Vater kein Geld auf seinem Konto hat und dieses Geld seinen drei Söhnen verteilt. Jeder der drei Söhne erhält genau Null.

Schwieriger wird es jedoch, wenn man eine Zahl durch Null teilen möchte. In der Mathematik ist das Ergebnis der Division durch Null nicht definiert. Man kann also nicht durch Null teilen, aber warum ist das so?

Lösung der Division durch Null mit Annäherung

Nehmen wir eine beliebige Zahl zum Beispiel die Zahl 5. Diese können wir problemlos durch 5 Teilen, genauso wie durch 4, 3, 2 oder 1. Versuchen wir einfach das Ergebnis durch eine Annäherung von x ( 0.

5 / 5     = 1                  5 / 0,2             = 25                5 / 0,003125              = 1600
5 / 4     = 1¼               5 / 0,1             = 50                5 / 0,0015625            = 3200
5 / 3     = 1⅔               5 / 0,05           = 100              5 / 0,00078125          = 6400
5 / 2     = 2½               5 / 0,025         = 200              5 / 0,000390625        = 12800
5 / 1     = 5                  5 / 0,0125       = 400              5 / 0,0001953125      = 25600
5 / 0,5  = 10                5 / 0,00625     = 800              5 / 0,00009765625    = 512000

Man kann dies auch durch die Berechnung des Limes verdeutlichen. Dazu nehmen wir die Gleichung y = 5 / x:
Lim(X(0) 5 / x = ∞

Bei dieser Annäherung erkennt man, dass je kleiner die Zahl ist, das Ergebnis entsprechend größer wird. Kann man also annehmen das 5 / 0 unendlich ergibt? Nicht ganz, denn wenn man sich der Null von der anderen (negativen) Seite nähert, stellt man folgendes fest:

5 / -5    = -1                 5 / -0,2           = -25               5 / -0,003125            = -1600
5 / -4    = -1¼              5 / -0,1           = -50               5 / -0,0015625          = -3200
5 / -3    = -1⅔              5 / -0,05         = -100             5 / -0,00078125        = -6400
5 / -2    = -2½              5 / -0,025       = -200             5 / -0,000390625      = -12800
5 / -1    = -5                 5 / -0,0125     = -400             5 / -0,0001953125    = -25600

Oder mit der Limesberechnung:
Lim(X&0) 5 / x = -∞

Alle Ergebnisse liegen im negativen Zahlenbereich. Sie werden immer kleiner, je mehr man sich der Null nähert. Sie gehen also gegen minus Unendlich. Kann man also sagen dass man bei x / 0 zwei Ergebnisse bekommt (plus und minus Unendlich)? Im Normalfall kommt man bei einer Division zweier Zahlen immer nur auf ein Ergebnis. Es muss also ein Fehler vorliegen oder bei der Division durch Null gilt eine Ausnahme und es ergeben sich zwei Ergebnisse, wie beispielsweise beim berechnen von Nullstellen durch das Ziehen der Wurzel.

Wieso die Lösung aus der Annäherung nicht stimmen kann

Die Division ist, wie wir alle wissen, eine umgedrehte Multiplikation. Wenn man also eine beliebige Zahl mit einer Anderen multipliziert und das Ergebnis durch die Zahl dividieret, kommt man wieder auf die ursprüngliche Zahl. Wenn man also 5 mit 2 multipliziert ergibt dies 10. 10 wiederum durch 2 dividiert ergibt die Ausgangszahl 5.

Dies ist jedoch nicht so, wenn man die 5 durch 0 Dividiert und das oben angenommene Ergebnis plus Unendlich bzw. minus Unendlich annehmen. Würden wir plus- oder minus Unendlich mit Null multiplizieren kämen wir auf das Ergebnis Null und nicht, wie laut der eben genannten Grundregel, auf 5.

Die Lösung aus der Annäherung kann also nicht stimmen.
Dies bestätigt, dass man nicht durch Null dividieren kann!

Dies wird vielleicht in folgendem Rechenbeispiel noch deutlicher:

Nehmen wir an, zwei Menschen haben Lotto gespielt. Die erste Person hat fünf Mal gespielt und jedes Mal nichts gewonnen. Die zweite Person hat nur drei Mal gespielt und ebenfalls jedes Mal nichts gewonnen. Der Gewinn beider Personen ist also gleich groß, wie in folgender Gleichung dargestellt wird:
5 * 0 = 3 * 0

Würden wir jetzt beide Terme durch Null dividieren kämen wir auf folgendes Ergebnis:

5 * 0 = 3 * 0   |:0
5 = 3               falche Aussage

Spätestens hier müsste auffallen, dass bei der Division durch Null etwas nicht stimmen kann.

Weshalb man nicht durch Null Dividieren kann

Die Division ist nicht nur eine umgekehrte Multiplikation, sondern auch eine Art wiederholte Subtraktion. Die Anzahl der Subtraktionen des Divisors vom Dividenden entspricht also dem Ergebnis der Division. Dies ist bei einer einfachen Division mit einer natürlichen Zahl als Ergebnis leicht nachzuvollziehen.
Zum Beispiel bei der Rechnung 15 / 5.

15 – 5 – 5 – 5 = 0

Es wurde die Zahl 5 genau 3-mal von der 15 Subtrahiert um das Ergebnis Null zu erhalten. Das Ergebnis von 15 / 5 ist also 3. Man könnte dies auch als lineare Funktion darstellen (y = m + nx), wobei „-m“ dem Dividend und „n“ dem Divisor entspricht.

Also: y = -15 + 5x

Die Nullstelle dieser Funktion ist 3 was wiederum 15 / 5 entspricht.

Bei der Division durch Null muss man sich also überlegen, wie oft man die Null von einer Zahl subtrahieren muss, um auf Null zu kommen.

Wenn man von einer Zahl x eine Subtraktion mit Null vornimmt, ergibt dies eine Zahl, welche x entspricht.

Würde man diese Funktion graphisch darstellen, würde man auf eine lineare Funktion, welche Parallel zur x-Achse verläuft, kommen. Weil sie Parallel zur x-Achse verläuft, gibt es auch keine Nullstelle.

Dies bedeutet, es gibt keine Anzahl von Operationen, welche das gewünschte Ergebnis Null bringt.

Dies bedeutet, die Division durch Null ergibt keine Lösung. Man kann also nicht durch Null dividieren!