Das Volumenproblem einer aus konkav geschnittenen Sonnensegeln zusammengesetzten Pyramide

Zur Vorgeschichte:
Zur letzten Matherunde in Ralfs Garten kam uns ein Gedankenspiel in den Sinn, welches in einer komplizierten Matheaufgabe enden sollte. Es geht um die Volumenberechnung einer speziellen Sonnensegel-Pyramide. Was das ist, und was es mit den Sonnensegeln auf sich hat, erfahrt ihr hier:

Die Idee:
SonnensegelEigentlich ging es darum einen einfachen Sonnenschutz zu finden, der uns von allen Seiten schützen soll, wenn die Sonne mal von allen Seiten scheint. Oder was wäre wenn sich die Erde anders drehen würde, und die Sonne von jeder Seite mal scheint? Dann bräuchten wir einen Rundumschutz. So dachten wir, wir bauen ein räumliches Gebilde, das uns von allen Seiten schützt.

Das mathematische Problem:
Man nehme 4 konkav geschnittene dreieckige Sonnensegel und füge Sie zu einer Pyramide zusammen - siehe Bild. Ein Beispiel für so eine Pyramide findet man auf den Sonnensegel Seiten des Raumtextilien Shops.

Wobei aber die Seitenkanten auch konkav nach innen gewölbt sind.  Das ist aber auf dem Bild nicht erkennbar, da die Seitenkanten sehr straff gespannt sind.

Als Grundfläche soll ein konkaves Vierecksegel zum Einsatz kommen. Damit wir nun ermitteln können, wieviel Raum sich unter den Segeln befindet, wollten wir das Volumen berechnen, was hier nun auch unsere Aufgabe darstellt. Die Betonung liegt auf dem Wort „wollten“, weil wir es dann aber aufgrund der anregenden Partygespräche ersteinmal seingelassen haben. Deshalb habe ich die Idee hier noch einmal aufgegriffen.

Ideen:
Das Ergebnis hängt natürlich davon ab, wie das untere Vierecksegel auf dem Boden gespannt ist; ob es gerade an den Schnittkanten verläuft und straff gezogen ist, oder ob es einfach mit gleichmäßiger Belastung nach oben oder nach unten (quasi wie mit Wasser gefüllt)  durchhängt. Das Gebilde ist nichts anderes als eine Pyramide mit diesen konkaven Kanten. Bei den konkaven Kanten ist von Ausschnitten einer Ellipse auszugehen.

  • Es stellt sich die Frage, ob so ein Gebilde mit konkaven (nach innen gewölbten) Kanten überhaupt mit normalen (konkav gefertigten) Sonnensegeln überhaupt realisieren lässt.
  • Und wenn ja, ist die zweite Frage, wie man ein solches Gebilde mathematisch beschreiben kann, so dass man sein Volumen und seine Oberfläche berechnen kann.

 

Ich weiß auf jeden Fall jetzt schon, dass ich diese in Gedanken und auf Papier konstruierte Sonnensegelkonstruktion beim nächsten Strandurlaub zu Hause lassen werde! Das Ding wäre mir dann einfach zu unhandlich.